Математичний процес, що лежить в основі визначення власних частот і відповідних форм мод за допомогою аналізу кінцевих елементів, є складним. Щоб полегшити розуміння теорії, ми розглянемо дуже просту лінійну систему пружина-маса з одним ступенем свободи (DOF). Тобто маса може вільно рухатися лише в одному напрямку.

На наступному зображенні m — маса, а k — жорсткість пружини:

Закон Гука визначає силу ( F ), необхідну для переміщення пружини жорсткості ( k ) на відстань ( X ):

(1) F = k?X

Другий закон руху Ньютона визначає співвідношення між силою ( F ), масою ( m ) і прискоренням ( a ) для нашої єдиної системи DOF:

(2) F = m?a

Об’єднавши ці два рівняння, ми маємо залежність між масою ( m ), прискоренням ( a ), жорсткістю пружини ( k ) і переміщенням ( X ):

(3) m?a = k?X

Наступне рівняння дає нам кутову частоту коливань (?), у радіанах/секунда, для цієї простої системи лінійних пружинних мас:

(4) ? = (к/м)1/2

Є 2? радіан на цикл вібрації. Таким чином, наступне рівняння дає нам власну частоту коливань ( fn ) у Герцах:

(5) fn = (к/м)1/2 / (2??)

У фактичній кінцево-елементній моделі ми маємо тривимірний рух і багато DOF через усі вузли та елементи в сітці.

У безперервній системі існує нескінченна кількість коливальних мод. Однак у кінцево-елементній моделі існує кінцева кількість DOF, а отже, кінцева кількість мод вібрації. Визначення частот коливань і форм мод для цих складних тривимірних систем включає в себе матричні операції, власні значення та власні вектори.

Рівняння (4) є проблемою власного значення та власного вектора зі скінченною кількістю розв’язків. Кутова частота (?) є скалярною величиною. Для будь-якого конкретного рішення всі DOF коливаються з однаковою кутовою частотою. Однак амплітуда вібрації (?) є векторною величиною. У нашій складній системі ? аналогічно переміщенню (X) у нашому окремому прикладі DOF. Різні DOF коливаються з різними амплітудами, заданими компонентами ?. Ця зміна амплітуди дає нам форму моди.

Правильне визначення власних значень і власних векторів, а також математичні операції, які використовуються для вирішення модального аналізу, виходять за рамки цієї теми.