Визначити термічні напруги, які виникають при підвищенні температури одного з елементів.

Опис справи

Квазіжорстка ланка обертається навколо отвору на своєму правому кінці. Ланка лежить на циліндричному латунному стрижні. Циліндричний сталевий стрижень закріплюється на лівому кінці ланки. Температура латунного стрижня підвищується з 20 °C (температура без напруги в зборі) до 50 °C. Результуюче теплове розширення викликає напругу розтягування в сталевому притискному стрижні. Оскільки латунний стрижень не може безперешкодно розширюватися, у ньому виникає осьова напруга стиску. Порівняємо цю осьову напругу з теоретичним рішенням.

Жорсткі елементи недоступні в типі предметного аналізу. Таким чином, квазіжорстка поведінка досягається шляхом створення ланки відносно великої та встановлення жорсткості матеріалу на максимально підтримуване значення. На наведеній нижче схемі всі розміри вказані в міліметрах.

Розміри (мм)

• Посилання: 1100 x 300 x 200 загальний
• Латунний стрижень: 30 діаметр х 300 довжина
• Сталевий стрижень: 22 діаметра x 900 довжини (без головки)

Тип дослідження та параметри

• Тип дослідження: термічний стрес
• Еталонна температура без стресу: 20°C

Параметри сітки

• Тип сітки = суцільна, чотиригранна
• Розмір сітки = 30 мм, абсолютний
• Порядок елементів = Параболічний
• Адаптивне уточнення сітки: немає
• Локальні елементи керування сіткою:
  • Опорний отвір у ланці: розмір сітки 15 мм
  • Сталевий стрижень і відповідні поверхні отворів у ланці: розмір сітки 5 мм
  • Латунний стрижень і пов’язані з ним поверхні отворів у ланці: розмір сітки 7 мм

Властивості матеріалу

обмеження

• Опорний отвір у ланці: обмеження шпильки (радіальне та осьове напрямки)
• Нижній кінець сталевого стрижня: виправлено
• Нижній кінець латунного стрижня: лише обмеження Y
• Циліндрична поверхня латунного стрижня: обмеження шпильки (лише тангенціальний напрямок)

Теплові навантаження

• Ланка та сталевий стрижень (повне тіло кожного): прикладена температура 20°C
• Латунний стрижень (весь корпус): температура застосування 50°C

Параметри контактів

Розміри отворів у ланці для обох стрижнів відповідають зазору. Тому контакт відбувається лише в двох місцях:

• Між верхнім кінцем латунного стрижня та кінцем відповідного глухого отвору в ланці.
• Між нижньою частиною головки сталевого стрижня та нижньою частиною пов’язаного з ним контротвору в ланці.

Параметри для обох наборів контактів такі:

• Тип контакту: Розлука
• Тип проникнення: симетричний
• Теплопровідність: 1 x 10-6 Вт / (м2?K)

Теоретичне рішення

Розглядаючи попередню діаграму, ми маємо наступний зв’язок із довідки Beer and Johnston:

?ME = 0 RA * (0,75 м) – RB * (0,3 м) = 0 RA = 0,4 RB

Деформації

Використовується метод суперпозиції. Коли RB видалено, підвищення температури циліндра змушує точку B переміститися вниз на відстань ?T. Реакція RB викликає зсув ?1 такої ж величини, що і ?T, так що кінцеве відхилення точки B дорівнює нулю.

Через підвищення температури на 30°C (50°C – 20°C) довжина латунного стрижня, коли він не обмежений, збільшується на ?T згідно з наступним рівнянням:

?T = L(?T)? = (0,3 м)(30°C)(1,88 x 10-5/°C) = 0,0001692 м

Зверніть увагу, що ?D = 0,4 ?C і що ?1 = ?D + ?BD, де ?BD — зміна довжини латунного стрижня.

?C = RAL / (AE)

Враховуючи, що для сталевого стрижня L = 0,9 м, A = ?D2/4, D = 0,03 м і E = 105 x 109 Па:

?C = 4 RA(0,9 м) / [?(0,03 м)2(105 x 109 Па)] = 11,83797097 x 10-9 RA ?D = 0,4 ?C = 0,4 (11,83797097 x 10-9 RA) = 4,73518839 x 10-9 RA ?BD = RBL / (AE)

Враховуючи, що для латунного стрижня L = 0,3 м, A = ?D2/4, D = 0,022 м і E = 105 x 109 Па:

?BD = 4 RB(0,9 м) / [?(0,03 м)2(105 x 109 Па)] = 4,04203030 x 10-9 RB

Враховуючи, що RA = 0,4 RB:

?1 = ?D + ?BD = [4,73518839 x 10-9 (0,4 RB) + 4,04203030 x 10-9 RB] = 5,936105657 x 10-9 RB

Але ?T = ?1:

0,0001692 м = 5,936105657 x 10-9 RB RB = 28 503,536 Н

Напруга в латунному стрижні

?B = RB/A = 4 (28 503,536 N) / [? (0,03 м)2] = 40 324 254 Па

Отже, ?B = 40,324254 МПа

Порівняння результатів

Напруга в латунному стрижні, по суті, осьова. Однак суцільне представлення стрижня та те, як воно обмежене, роблять можливим виникнення прогину згину та напруги згину. Така поведінка не спостерігається в справжній фермі, яка є основою теоретичного рішення. Щоб переконатися, що ми не включаємо ефекти згину в наше порівняння, ми вибираємо точку вздовж нейтральної осі стрижня (де компонент напруги згину дорівнює нулю). Крім того, ми не хочемо перевіряти напруги поблизу обмеження або контактної зони, де результати можуть бути спотворені локальними ефектами. Тому ми порівнюємо теоретичне осьове напруження ферми (латунного стрижня) з результатом Fusion 360 Normal YY Stress у центроїді латунного стрижня (-300, -150, 0). Знак мінус результату вказує на те, що напруга є стисливою, як і очікувалося (тоді як позитивні компоненти напруги є розтягувальною):

• Контактні та обмежені кінці стрижнів не поводяться як кінцеві точки справжніх ферм, які діють як кульові шарніри. Моменти або ексцентричні реакції можуть виникати на кінцях твердих уявлень.
• На площу поперечного перерізу твердих стрижнів впливає сітка, і вона, ймовірно, не точно відповідає площі справді круглого поперечного перерізу.
• Квазіжорстка ланка не є справді жорсткою. Незначна деформація ланки (внаслідок вигину по довжині та локального стиснення в місцях контакту стрижня) частково розвантажує обидва стрижня. Цей ефект зменшує розрахункову величину напруги в латунному стрижні.

Незважаючи на ці відомі відмінності між теоретичною та твердотільною моделями кінцевих елементів, результати все ще досить близькі.

довідка

Бір, Фердинанд П. і Джонстон, молодший, Е. Рассел, Механіка матеріалів, McGraw-Hill, Inc., 1981, приклад проблеми 2.4, сторінка 58.